Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Vôzli Čebišova [~ čebíšova] (tudi vozli Čebiševa) so v matematiki in numerični analizi ničle polinomov Čebišova. Pri izbiri za interpolacijo so zelo pripravni in z njimi se lahko ogne problemom Rungejevega pojava.
Za n vozlov na intervalu [-1, 1] se lahko vozle Čebišova določi kot:
![{\displaystyle x_{i}=\cos \left({\frac {2i-1}{2n}}\pi \right)\!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1c97499f99bd5d2b4c2e015aecc85fff9d2c64d)
kjer je:
![{\displaystyle 1\leq i\leq n\!\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/453bf4fa6323647f0309e8f3ac46bc2a6a5b9d0d)
Za poljuben interval [a, b] se lahko uporabi linearno transformacijo, da se dobi:
![{\displaystyle x_{i}={\frac {1}{2}}(a+b)+{\frac {1}{2}}(b-a)\cos \left({\frac {2i-1}{2n}}\pi \right)\!\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a45036e512209bc3e80dcbee6a4fd79c261a7684)
Naj je Tn polinom Čebišova oblike:
![{\displaystyle T_{n}(x)=\cos(n\cos ^{-1}(x))\!\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49126d8269c52a2a3d1703bb5ee7dde22c82a2b4)
Funkcija kosinus ima periodične ničle:
![{\displaystyle r_{i}=(2i-1){\frac {\pi }{2}}\!\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab809e9f820479c3c303dd6218ff229fc6da8632)
za vsak cel i, kar da:
![{\displaystyle T_{n}(x_{i})=\cos(n\cos ^{-1}(x_{i}))=\cos(r_{i})=0\!\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc27f4cb7543f2d45b9b675d273d5885738c9c22)
Tako ničle polinomov Čebišova nastopajo pri:
![{\displaystyle n\cos ^{-1}(x_{i})=r_{i}\!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3505308f2916c5eb4a3983075c5e3689207f297)
kar se lahko reši za xi, da se dobi:
![{\displaystyle x_{i}=\cos \left({\frac {2i-1}{2n}}\pi \right)\!\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/578593925f997f7986db4285b5d62ef10133f0cc)